L'énergie des fluides et l'équation qui valait un million de dollars...
ConférenceMathématiquesACCÈS LIBRE
20/09/2024 | 19h00 - 20h00 | Salle Cavaillès
Informations
Les équations de Navier-Stokes permettent de décrire l'écoulement d'un fluide à la fois visqueux et incompressible. Qu'il s'agisse de l'écoulement du café dans une tasse, de celui de l'air autour d'une voiture ou d'une fusée, ou encore des cyclones tropicaux ou de l'anticyclone des açores, ces équations sont utilisées par les ingénieurs, les physiciens et les météorologues depuis des décennies pour rendre compte d'écoulements fluides de toutes sortes. Il s'agit d'équations d'évolution en temps, qui à partir d'une configuration initiale permettent de décrire le comportement d'un fluide au cours du temps. La question de l'existence d'une solution régulière globale, c'est-à-dire pour des temps arbitrairement grands, pose toutefois des problèmes mathématiques inattendus. Ces équations sont-elles à même de développer des "singularités" en temps fini ? Pour y répondre il faut “mesurer” l’écoulement. L'approche la plus naturelle consiste à considérer son énergie. Les mathématiques révèlent que si celle-ci doit bien décroître en l'absence de forçage, cela ne suffit malheureusement pas à garantir la régularité de l'écoulement.
En 2000, le "Clay Mathematics Institute" a fait de ce problème l'un des problèmes du prix millénaire en mathématiques en offrant un prix d'un million de dollars à la première personne qui pourrait prouver ou donner un contre-exemple de l'affirmation suivante :
En trois dimensions d'espace, étant donné un champ de vitesse initial, il existe un champ de vitesse et un champ de pression, qui sont tous deux réguliers et définis globalement et qui sont solution des équations de Navier-Stokes. Cet exposé s'adressera à des non-mathématicien(ne)s et tâchera d'expliquer de manière intuitive les difficultés que soulèvent l'étude mathématique des écoulements fluides.
